Partie A
Dans le pays Ecoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l’électricité ou aux biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur.
70 % des véhicules sont avec chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.
30 % des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.
On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note :
C l’événement : « le véhicule est avec chauffeur » ;
B l’événement : « le véhicule roule aux biocarburants » ;
E l’événement : « le véhicule roule à l’électricité ».
Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).
- Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation :
où $\overline{C}$ désigne l'événement contraire de $C$.
- Déterminer la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
- On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
Déterminer la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur.
Partie B
On s’intéresse à la consommation d’un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule.
Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur [30 ; 130] par :
$f(x)= \dfrac{8x^{2}-800x+30 000}{x^{2}}$ pour $x$ dans [30 ; 130],
où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour 100 km.
- Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à 30 km/h, quelle est sa consommation ? Et lorsqu’il roule à 50 km/h ?
- Montrer que la dérivée $f'(x)$ de $f$ sur [30 ; 130] peut s’écrire
$f'(x)=\dfrac{800x- 60 000}{x^3}$
- Étudier le signe de $f ' (x)$ sur [30 ; 130] et en déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
- Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ?
Que vaut alors cette consommation (arrondir à 0,01 près) ?
- On considère l’algorithme ci-dessous :
Quelle est la valeur de la variable x à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
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