Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale des côtes des communes littorales concernées.
Partie A
Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors pêche, le stock reste constant à 5 000 tonnes.
On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces côtes l’année 2015$+n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0= $ 600.
Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de 30 tonnes.
- a) Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison et son premier terme.
b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.
- Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015.
a) Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en B3 afin d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
b) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 ?
- a) Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025.
b) La réglementation adoptée permet-elle d'éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées? Justifier la réponse.
Partie B
Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de 12 % chaque année.
On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à 500 tonnes par an.
On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année 2015 $+n$ avant que ne démarre la saison de pêche.
On rappelle que $v_0 =$ 5000.
- Calculer $v_1$.
$\quad$
- On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :
$v_{n+1}=1,12\times v_n-500$
On donne l'algorithme suivant :
a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $v$ obtenues à l’aide de l’algorithme et arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de $n$ comprise entre 2 et 7.
Par exemple, pour $n=$ 2, l’algorithme affiche 5 212.
Donner la valeur affichée par l'algorithme, arrondie à l'unité, lorsque l'utilisateur saisit la valeur $n=$ 9.
b) Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l'algorithme pour $n=$ 9.
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